Investigación de operaciones - Unidad 2

 MI PORTAFOLIO UNIDAD 2

Dualidad en programación lineal

La idea de la dualidad en programación lineal es más simple de lo que suena: cada modelo “Primal”, que busca usar los recursos de la mejor manera posible, tiene un modelo “Dual” equivalente que mira esos mismos recursos desde su valor económico. Lo interesante es que, con métodos como el Simplex, se puede encontrar la solución óptima de ambos al mismo tiempo.

El problema primal normalmente se enfoca en cómo usar los recursos de la mejor manera (por ejemplo, maximizar ganancias), mientras que el dual se enfoca en cuánto valen esos recursos o restricciones. 

Lo importante es que ambos problemas están conectados matemáticamente, de modo que si uno tiene una solución óptima, el otro también la tendrá, y en ese punto óptimo los valores de sus funciones objetivo coinciden. En términos simples, la dualidad permite analizar un mismo problema desde dos enfoques: uno operativo, centrado en el uso de los recursos, y otro económico, enfocado en el valor de esos recursos, lo que resulta muy útil para el análisis y la toma de decisiones.

Ejemplo:

Precios sombra: representan el valor que tiene cada recurso dentro del modelo. Indican cuánto aumentaría o disminuiría la función objetivo si se incrementa en una unidad la disponibilidad de un recurso, manteniendo todo lo demás constante.

Desde la dualidad, estos valores corresponden directamente a las variables del problema dual. Es decir, mientras el problema Primal se enfoca en cómo usar los recursos, el Dual asigna un “precio” a cada uno de ellos, y ese precio es justamente el precio sombra. Por eso, si un recurso es escaso, su precio sombra será positivo (tiene valor); si no es limitante, será cero.

En términos simples, los precios sombra permiten interpretar económicamente las restricciones del modelo, mostrando cuánto vale cada recurso en la solución óptima y ayudando a decidir si conviene aumentar su disponibilidad o no.

Informe de sensibilidad

El informe de sensibilidad en Excel es el documento técnico que traduce los resultados matemáticos del algoritmo simplex a un lenguaje de toma de decisiones. Es en esencia, la aplicación práctica de la dualidad, ya que extrae la información del modelo dual para decirnos qué tan "robusta" es nuestra solución óptima frente a posibles cambios en el entorno (como variaciones en precios o disponibilidad de insumos).

Este informe incluye información clave como:

• Precios sombra: indican cuánto aumentaría o disminuiría la utilidad si se incrementa en una unidad la disponibilidad de un recurso.
• Costos reducidos: muestran si una variable que no está en la solución actual podría volverse relevante.
• Rangos de sensibilidad: te dicen hasta qué punto puedes cambiar coeficientes o recursos sin que la solución óptima deje de ser válida.

Ejemplo:

Contexto para el informe de sensibilidad: 

Caso de Estudio: Optimización de Emisiones en "Alimentos del Valle"

La empresa Alimentos del Valle opera en una zona industrial con nuevas normativas ambientales. Posee dos líneas de producción principales: Línea de Horneado (LH) y Línea de Fritura (LF). Ambas generan tres tipos de contaminantes: Partículas (PM), Óxidos de Nitrógeno (NOx) y Compuestos Orgánicos (COV). Para cumplir con la ley, deben reducir sus emisiones anuales en:

Partículas (PM): 60 toneladas.

Óxidos de Nitrógeno (NOx): 80 toneladas.

Compuestos Orgánicos (COV): 70 toneladas.

Los ingenieros proponen tres métodos de mitigación que pueden aplicarse a cada línea:

Filtros de Mangas (M1)

Lavadores Químicos (M2) 

Sistemas de Post-combustión (M3) 

Tabla 1: Capacidad de Reducción Máxima (Toneladas/Año)Si el método se aplica al 100% (x1 = 1), estas son las reducciones que se logran:

Tabla 2: Costos Anuales Totales (Miles de USD) por uso al 100%

Informe de sensibilidad del caso de estudio

Interprestación de resultados

El modelo ha logrado un balance adecuado entre la línea de horneado y la línea de frituras, esto se debe a que:

• Se están utilizando al 100% (Valor Final = 1) los filtros de mangas y lavadores químicos en la línea de fritura, y la post-combustión en la línea de horneado. Esto significa que esas máquinas ya no dan más de sí, están operando a máxima capacidad para minimizar costos donde si la ley aumentará las exigencias de reducción de emisiones más allá del límite permisible (por ejemplo, exigir reducir 80 toneladas de PM cuando el máximo técnico actual es 75) Solver no encontraría una solución viable, esto indicaría que la optimización de procesos ha llegado a su límite físico y la empresa se vería obligada a realizar un cambio estructural ya que el equipo actual sería incapaz de cumplir metas más estrictas
• Para los Compuestos Orgánicos (COV), es más barato usar post-combustión al 100% en horneado ($45) y solo el 25% en fritura ($50), ya que el método en fritura es más costoso por unidad de reducción lograda donde si el costo de la línea de fritura bajará de $50 a menos de $30, su costo unitario sería de $0.75, igualando la eficiencia del horneado. Solo si el costo cae por debajo de ese umbral veríamos en el resultado final que solver desplaza la prioridad hacia la línea de fritura, usándola al 100% y dejando la de horneado como apoyo para completar la meta legal.
• El "Valor Final" de las restricciones coincide exactamente con el "Lado Derecho" (60=60, 80=80, 70=70). Esto indica que no hay desperdicio de recursos; la empresa está cumpliendo la ley exactamente con los límites establecidos donde cualquier incremento en toneladas en las emisiones, el presupuesto de la empresa se vería afectado confirmando que cualquier esfuerzo extra por encima de la ley tiene un impacto directo en el presupuesto (el valor de sus precios sombra)
• Compuestos Orgánicos (COV) tiene un precio sombra: 1.25, es el contaminante más crítico desde el punto de vista financiero ya que por cada tonelada adicional que exija reducir la ley de compuestos orgánicos el costo de operación de la empresa aumentará en $1,250 dólares, esto se debe a que el método de Post-combustión es el más costoso de implementar
• Óxidos de Nitrógeno (NOx) tiene un precio sombra: 0.7 donde un aumento en la exigencia de reducción de óxidos de nitrógeno incrementa los costos en $700 dólares por tonelada. Esto refleja una dificultad moderada en comparación con los compuestos orgánicos
• Partículas (PM) tiene un precio sombra: 0.625, es el contaminante con el menor impacto marginal